Câu lạc bộ Tin học dành cho học sinh Tiểu học

[sai mần gium pen 07 - Vũ Hoàng Quân 5/4]

Bài 1 — Ánh xạ co và điểm cố định (Fixed Point Theorem)​

Cho một không gian metric (X,d)(X, d)(X,d) và một hàm f:X→Xf : X \to Xf:X→X thỏa mãn:

d(f(x),f)≤c⋅d(x,y)d(f(x), f) \leq c \cdot d(x, y)d(f(x),f)≤c⋅d(x,y)
với một hằng số 0<c<10 < c < 10<c<1.


(a) Chứng minh rằng fff có duy nhất một điểm cố định x∗∈Xx^* \in Xx∗∈X sao cho f(x∗)=x∗f(x^*) = x^*f(x∗)=x∗.
(b) Cho ví dụ một hàm liên tục nhưng không co, không có điểm cố định.

---

Lời giải:


(a)
Chọn x0∈Xx_0 \in Xx0∈X, xét dãy xn+1=f(xn)x_{n+1} = f(x_n)xn+1=f(xn).
Ta có:

d(xn+1,xn)=d(f(xn),f(xn−1))≤cd(xn,xn−1)d(x_{n+1}, x_n) = d(f(x_n), f(x_{n-1})) \le c d(x_n, x_{n-1})d(xn+1,xn)=d(f(xn),f(xn−1))≤cd(xn,xn−1)
⇒ Dãy này Cauchy, nên hội tụ trong XXX (nếu XXX đầy đủ).
Giới hạn x∗=lim⁡xnx^* = \lim x_nx∗=limxn thỏa f(x∗)=x∗f(x^*) = x^*f(x∗)=x∗.
Nếu f(x)=f=xf(x) = f = xf(x)=f=x, chứng minh tương tự cho thấy x=yx=yx=y.
→ Điểm cố định duy nhất.


(b)
Ví dụ: f(x)=x+1f(x) = x + 1f(x)=x+1 trên R\mathbb{R}R.
Liên tục, không co, không có điểm cố định.


Định lý này chính là “Banach Fixed Point Theorem” – nền tảng cho giải tích số, Newton method, v.v.

---

Bài 2 — Không gian Hilbert l²​

Xét tập:

V={(an)n=1∞∣∑n=1∞∣an∣2<∞}V = \{ (a_n)_{n=1}^{\infty} \mid \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 < \infty \}V={(an)n=1∞∣n=1∑∞∣an∣2<∞}
với tích vô hướng:

⟨a,b⟩=∑n=1∞anbn‾\langle a, b \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \overline{b_n}⟨a,b⟩=n=1∑∞anbn
(a) Chứng minh đây là không gian vector.
(b) Chứng minh ⟨a,b⟩\langle a, b \rangle⟨a,b⟩ là tích vô hướng hợp lệ.
(c) Chứng minh VVV là hoàn chỉnh (Hilbert space).

---

Lời giải:


(a)
Tổng và nhân vô hướng đều bảo toàn hội tụ của chuỗi ∑∣an∣2\sum |a_n|^2∑∣an∣2.
→ VVV là vector space.


(b)
⟨a,b⟩\langle a, b \rangle⟨a,b⟩ tuyến tính theo aaa, đối xứng liên hợp, và
⟨a,a⟩=∑∣an∣2≥0\langle a, a \rangle = \sum |a_n|^2 \ge 0⟨a,a⟩=∑∣an∣2≥0, chỉ bằng 0 khi mọi an=0a_n = 0an=0.
→ Tích vô hướng hợp lệ.


(c)
Giả sử (a(k))(a^{(k)})(a(k)) là dãy Cauchy theo chuẩn ∥a∥=⟨a,a⟩\|a\| = \sqrt{\langle a,a\rangle}∥a∥=⟨a,a⟩.
Khi đó từng thành phần an(k)a^{(k)}_nan(k) hội tụ và giới hạn ana_nan vẫn thỏa ∑∣an∣2<∞\sum |a_n|^2 < \infty∑∣an∣2<∞.
→ l2l^2l2 hoàn chỉnh.


Đây là không gian nền của toàn bộ cơ học lượng tử.

---

Bài 3 — Trường hữu hạn và ma trận khả nghịch​

Cho F=Z3={0,1,2}F = \mathbb{Z}_3 = \{0,1,2\}F=Z3={0,1,2}.
Tính số phần tử của nhóm:

GL2(F)={A∈M2(F):det⁡(A)≠0}GL_2(F) = \{ A \in M_2(F) : \det(A) \neq 0 \}GL2(F)={A∈M2(F):det(A)=0}

---

Lời giải:

• Dòng 1: có 32−1=83^2 - 1 = 832−1=8 lựa chọn (bất kỳ vector khác 0).
• Dòng 2: phải độc lập tuyến tính với dòng 1 → có 32−3=63^2 - 3 = 632−3=6 lựa chọn.
  → Tổng số: 8×6=488 \times 6 = 488×6=48.

Kết quả: ∣GL2(Z3)∣=48|GL_2(\mathbb{Z}_3)| = 48∣GL2(Z3)∣=48

---

Bài 4 — Quaternion (Đại số Hamilton)​

Các quaternion H={a+bi+cj+dk∣a,b,c,d∈R}\mathbb{H} = \{ a + bi + cj + dk \mid a,b,c,d \in \mathbb{R} \}H={a+bi+cj+dk∣a,b,c,d∈R}
thỏa:

i2=j2=k2=ijk=−1i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1i2=j2=k2=ijk=−1
(a) Chứng minh pq‾=q‾ p‾\overline{pq} = \overline{q}\,\overline{p}pq=qp.
(b) Chứng minh ∣pq∣=∣p∣∣q∣|pq| = |p||q|∣pq∣=∣p∣∣q∣.
(c) Tìm nghịch đảo p−1p^{-1}p−1.

---

Lời giải:

• a+bi+cj+dk‾=a−bi−cj−dk\overline{a+bi+cj+dk} = a - bi - cj - dka+bi+cj+dk=a−bi−cj−dk
• Tích quaternion tuân theo quy tắc Hamilton.
  Từ đó:

∣p∣2=pp‾=a2+b2+c2+d2|p|^2 = p\overline{p} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2∣p∣2=pp=a2+b2+c2+d2
→ ∣pq∣2=(pq)(pq‾)=pqq‾p‾=p∣q∣2p‾=∣p∣2∣q∣2|pq|^2 = (pq)(\overline{pq}) = p q \overline{q} \overline{p} = p |q|^2 \overline{p} = |p|^2 |q|^2∣pq∣2=(pq)(pq)=pqqp=p∣q∣2p=∣p∣2∣q∣2.


→ p−1=p‾∣p∣2p^{-1} = \frac{\overline{p}}{|p|^2}p−1=∣p∣2p.


Quaternion mô tả quay 3D trong đồ họa, vật lý, robot.

---

Bài 5 — Nhóm quay SO(3)SO(3)SO(3) và SU(2)SU(2)SU(2)​

(a) Chứng minh SU(2)SU(2)SU(2) đẳng cấu với tập các quaternion đơn vị ∣q∣=1|q|=1∣q∣=1.
(b) Chứng minh rằng SO(3)≅SU(2)/{±1}SO(3) \cong SU(2)/\{\pm 1\}SO(3)≅SU(2)/{±1}.

---

Lời giải:


(a)
Mỗi q=a+bi+cj+dkq = a + bi + cj + dkq=a+bi+cj+dk với a2+b2+c2+d2=1a^2+b^2+c^2+d^2=1a2+b2+c2+d2=1
tương ứng với ma trận:

(a+bic+di−c+dia−bi)∈SU(2)\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\-c+di & a-bi\end{pmatrix} \in SU(2)(a+bi−c+dic+dia−bi)∈SU(2)
→ đẳng cấu S3≅SU(2)S^3 \cong SU(2)S3≅SU(2).


(b)
Hai quaternion qqq và −q-q−q biểu diễn cùng phép quay.
→ SO(3)≅SU(2)/{±1}SO(3) \cong SU(2)/\{\pm 1\}SO(3)≅SU(2)/{±1}.


Đây là nền tảng của cơ học lượng tử spin ½ và hình học vi phân.
đây chỉ là cách làm của đề toán 55b

---

​