ĐỀ
Cho ma trận
A=(210121012)A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\1 & 2 & 1\\0 & 1 & 2\end{pmatrix}A=210121012
và không gian vector R3\mathbb R^3R3 với tích vô hướng chuẩn.
a) Tìm tất cả giá trị riêng và vector riêng của AAA.
b) Chứng minh rằng các vector riêng bạn tìm được là trực giao với nhau.
c) Viết AAA dưới dạng A=Q D QTA = Q\,D\,Q^TA=QDQT với QQQ là ma trận trực giao và DDD là ma trận đường chéo.
d) Tính A10A^{10}A10 bằng cách sử dụng phân tích trên.
GIẢI CHI TIẾT
a) Tìm giá trị riêng & vector riêng
- Tính đa thức đặc trưng:
Tính bằng phép co hạ chiều:
(2−λ)det(2−λ112−λ)−1⋅det(1102−λ)=(2−λ)[(2−λ)2−1]−1⋅[1⋅(2−λ)−1⋅0].(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{pmatrix}-1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\0&2-\lambda\end{pmatrix}= (2-\lambda)[(2-\lambda)^2 -1] -1\cdot[1\cdot(2-\lambda)-1\cdot0].(2−λ)det(2−λ112−λ)−1⋅det(1012−λ)=(2−λ)[(2−λ)2−1]−1⋅[1⋅(2−λ)−1⋅0].
Suy ra:
(2−λ)[(2−λ)2−1]−(2−λ)=(2−λ)[(2−λ)2−1−1]=(2−λ)[(2−λ)2−2].(2-\lambda)[(2-\lambda)^2 -1] - (2-\lambda) = (2-\lambda)[(2-\lambda)^2 -1 -1] = (2-\lambda)[(2-\lambda)^2 -2].(2−λ)[(2−λ)2−1]−(2−λ)=(2−λ)[(2−λ)2−1−1]=(2−λ)[(2−λ)2−2].
Đặt x=2−λx=2-\lambdax=2−λ, thì ta có x(x2−2)=0x(x^2 -2)=0x(x2−2)=0 ⇒ x=0x=0x=0 hoặc x2=2x^2=2x2=2.
Vậy 2−λ=02-\lambda=02−λ=0 ⇒ λ1=2\lambda_1=2λ1=2.
Và 2−λ=±22-\lambda = \pm \sqrt22−λ=±2 ⇒ λ2=2−2, λ3=2+2\lambda_2 = 2-\sqrt2,\;\lambda_3=2+\sqrt2λ2=2−2,λ3=2+2.
→ Giá trị riêng:
λ1=2,λ2=2−2,λ3=2+2.\lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = 2-\sqrt2,\quad \lambda_3 = 2+\sqrt2.λ1=2,λ2=2−2,λ3=2+2.
- Tìm vector riêng tương ứng:
- Với λ1=2\lambda_1=2λ1=2: giải (A−2I)v=0(A-2I)v=0(A−2I)v=0.
(010101010)(xyz)=0\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0010101010xyz=0 ⇒
y=0y=0y=0 từ hàng 1, hàng 3 cho y=0y=0y=0; hàng 2 cho x+z=0x+z=0x+z=0 ⇒ z=−xz = -xz=−x.
Chọn x=1x=1x=1 thì z=−1z=-1z=−1. Vector riêng: v1=(1,0,−1)Tv_1 = (1,0,-1)^Tv1=(1,0,−1)T. - Với λ2=2−2\lambda_2=2-\sqrt2λ2=2−2: giải (A−(2−2)I)v=0(A-(2-\sqrt2)I)v=0(A−(2−2)I)v=0. Tức (A−2I+2I)v=0(A-2I +\sqrt2I)v=0(A−2I+2I)v=0 ⇒ (−2101−2101−2)(xyz)=0\begin{pmatrix} -\sqrt2 &1 &0\\1 & -\sqrt2 &1\\0&1& -\sqrt2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0−2101−2101−2xyz=0.
Giải hệ: hàng 1 ⇒ −2x+y=0-\sqrt2 x + y=0−2x+y=0 ⇒ y=2xy=\sqrt2 xy=2x. Hàng 2 ⇒ x−2y+z=0x -\sqrt2 y + z=0x−2y+z=0 thay y ⇒ x−2(2x)+z=x−2x+z=−x+z=0x -\sqrt2(\sqrt2 x) + z = x -2x + z = -x + z =0x−2(2x)+z=x−2x+z=−x+z=0 ⇒ z=xz = xz=x. Chọn x=1x=1x=1 ⇒ y=2, z=1y=\sqrt2,\;z=1y=2,z=1. Vector riêng: v2=(1, 2, 1)Tv_2 = (1,\,\sqrt2,\,1)^Tv2=(1,2,1)T. - Với λ3=2+2\lambda_3=2+\sqrt2λ3=2+2: tương tự giải hệ (A−(2+2)I)v=0(A-(2+\sqrt2)I)v=0(A−(2+2)I)v=0. Tương đương (210121012)(xyz)=0\begin{pmatrix}\sqrt2 &1&0\\1&\sqrt2&1\\0&1&\sqrt2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0210121012xyz=0. Hàng1 ⇒ 2x+y=0\sqrt2 x + y=02x+y=0 ⇒ y=−2xy=-\sqrt2 xy=−2x. Hàng2 ⇒ x+2y+z=0x + \sqrt2 y + z=0x+2y+z=0 thay y ⇒ x+2(−2x)+z=x−2x+z=−x+z=0x + \sqrt2(-\sqrt2 x) + z = x -2x + z = -x + z=0x+2(−2x)+z=x−2x+z=−x+z=0 ⇒ z=xz = xz=x. Chọn x=1x=1x=1 ⇒ y=−2, z=1y=-\sqrt2,\;z=1y=−2,z=1. Vector riêng: v3=(1, −2, 1)Tv_3 = (1,\,-\sqrt2,\,1)^Tv3=(1,−2,1)T.
- Với λ1=2\lambda_1=2λ1=2: giải (A−2I)v=0(A-2I)v=0(A−2I)v=0.
b) Trực giao các vector riêng
Ta cần kiểm tra ⟨vi,vj⟩=0\langle v_i, v_j \rangle =0⟨vi,vj⟩=0 nếu i≠ji\ne ji=j (với tích vô hướng chuẩn Euclid).
- ⟨v1,v2⟩=(1)(1)+(0)(2)+(−1)(1)=1−1=0.\langle v_1, v_2\rangle = (1)(1) + (0)(\sqrt2) + (-1)(1) = 1 -1 =0.⟨v1,v2⟩=(1)(1)+(0)(2)+(−1)(1)=1−1=0.
- ⟨v1,v3⟩=(1)(1)+(0)(−2)+(−1)(1)=1−1=0.\langle v_1, v_3\rangle = (1)(1) + (0)(-\sqrt2) + (-1)(1) = 1 -1 =0.⟨v1,v3⟩=(1)(1)+(0)(−2)+(−1)(1)=1−1=0.
- ⟨v2,v3⟩=(1)(1)+(2)(−2)+(1)(1)=1−2+1=0.\langle v_2, v_3\rangle = (1)(1) + (\sqrt2)(-\sqrt2) + (1)(1) = 1 -2 +1 =0.⟨v2,v3⟩=(1)(1)+(2)(−2)+(1)(1)=1−2+1=0.
Vậy đúng là trực giao.
c) Viết
- Đầu tiên chuẩn hóa vector riêng để tạo ma trận QQQ trực giao:
- v1=(1,0,−1)v_1 = (1,0,-1)v1=(1,0,−1), ∥v1∥=1+0+1=2\|v_1\| = \sqrt{1+0+1} = \sqrt2∥v1∥=1+0+1=2. → u1=12(1,0,−1)Tu_1 = \frac1{\sqrt2}(1,0,-1)^Tu1=21(1,0,−1)T.
- v2=(1,2,1)v_2 = (1,\sqrt2,1)v2=(1,2,1), ∥v2∥=1+2+1=4=2\|v_2\| = \sqrt{1+2+1} = \sqrt4=2∥v2∥=1+2+1=4=2. → u2=12(1,2,1)Tu_2 = \frac1{2}(1,\sqrt2,1)^Tu2=21(1,2,1)T.
- v3=(1,−2,1)v_3 = (1,-\sqrt2,1)v3=(1,−2,1), ∥v3∥=2\|v_3\| = 2∥v3∥=2 ⇒ u3=12(1,−2,1)Tu_3 = \frac1{2}(1,-\sqrt2,1)^Tu3=21(1,−2,1)T.
- Đặt Q=[u1 u2 u3]Q = [u_1\;u_2\;u_3]Q=[u1u2u3] (cột là các uiu_iui). Ma trận D=diag(λ1,λ2,λ3)D = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)D=diag(λ1,λ2,λ3).
- Kiểm tra: vì các vector riêng tạo cơ sở trực giao, ta có QTAQ=DQ^T A Q = DQTAQ=D ⇒ A=QDQTA = Q D Q^TA=QDQT.
d) Tính
Nhờ phân tích trên,
A10=Q D10 QT,D10=diag(λ110,λ210,λ310).A^{10} = Q\,D^{10}\,Q^T,\quad D^{10} = \operatorname{diag}(\lambda_1^{10},\lambda_2^{10},\lambda_3^{10}).A10=QD10QT,D10=diag(λ110,λ210,λ310).
Vậy nếu muốn, có thể tính từng λi10\lambda_i^{10}λi10:
λ110=210,λ210=(2−2)10,λ310=(2+2)10.\lambda_1^{10} = 2^{10},\quad \lambda_2^{10} = (2-\sqrt2)^{10},\quad \lambda_3^{10} = (2+\sqrt2)^{10}.λ110=210,λ210=(2−2)10,λ310=(2+2)10.
Sau đó A10=Q(210000(2−2)10000(2+2)10)QTA^{10} = Q \begin{pmatrix}2^{10}&0&0\\0&(2-\sqrt2)^{10}&0\\0&0&(2+\sqrt2)^{10}\end{pmatrix}Q^TA10=Q210000(2−2)10000(2+2)10QT.
Bạn cũng có thể mở rộng lại thành ma trận cụ thể nếu muốn — nhưng thường kết quả dưới dạng QD10QTQ D^{10} Q^TQD10QT là đủ.
Hình minh họa
Giải thích hình:
Hình minh họa cho thấy một ma trận đối xứng (như AAA) định dạng một elipsoid trong R3\mathbb R^3R3, các vector riêng tương ứng là trục chính của elipsoid — hướng đó không đổi khi ta áp dụng AAA. Khi ta chọn cơ sở theo các vector riêng, phép biến đổi AAA đơn giản thành nhân từng thành phần (đường chéo) — đúng như việc viết A=QDQTA=QDQ^TA=QDQT.