Bài toán. Cho X=S1X=S^1X=S1 (vòng tròn đơn vị, hay [0,2π][0,2\pi][0,2π] với hai đầu tương đương) và không gian C(S1)C(S^1)C(S1) các hàm thực liên tục trên S1S^1S1 với chuẩn sup. Gọi AAA là đại số các đa thức lượng giác (tức các hàm dạng ∑−NNckeikx\sum_{-N}^N c_k e^{ikx}∑−NNckeikx, với hệ số phức thỏa điều kiện tương hợp để hàm thực).
a) Chứng minh AAA là một đại số con của C(S1)C(S^1)C(S1), chứa hàm hằng, và phân biệt các điểm của S1S^1S1.
b) Dựa trên Stone–Weierstrass theorem (phiên bản thực), chứng minh rằng AAA là mật trong C(S1)C(S^1)C(S1) — tức mọi hàm thực liên tục trên S1S^1S1 có thể xấp xỉ đồng đều bởi đa thức lượng giác. (Đây là Weierstrass approximation theorem cho vòng tròn, hay định lý Stone–Weierstrass cho S^1.)
c) (Ứng dụng) Lấy hàm f(x)=∣sinx∣f(x)=|\sin x|f(x)=∣sinx∣ trên S1S^1S1. Viết công thức Fourier của fff (các hệ số) và giải thích tại sao các tổng Fourier (đa thức lượng giác) xấp xỉ fff đồng đều. Vẽ đồ thị fff và các tổng Fourier dừng ở bậc N=5,25,100N=5,25,100N=5,25,100 để minh họa hội tụ đồng đều.
Vậy AAA là đại số con của C(S1)C(S^1)C(S1), có hằng số, và tách điểm.
Định lý Stone–Weierstrass (phiên bản thực): Nếu XXX là không gian compact Hausdorff và A⊂C(X,R)A\subset C(X,\mathbb R)A⊂C(X,R) là một đại số con chứa hàm hằng và phân biệt các điểm (separates points), thì AAA là mật trong C(X,R)C(X,\mathbb R)C(X,R) theo chuẩn sup.
Áp dụng vào X=S1X=S^1X=S1 và AAA như trên: mọi điều kiện đều được thỏa — nên AAA là dense trong C(S1)C(S^1)C(S1). Điều này chính là Weierstrass approximation theorem cho vòng tròn: mọi hàm thực liên tục trên S1S^1S1 có thể được xấp xỉ đồng đều bởi đa thức lượng giác.
(Chú ý: Stone–Weierstrass là một kết quả sâu rộng; chứng minh đầy đủ thường dựa trên khái niệm algebra, lattice hoặc phương pháp phân tách điểm và xây dựng aprox. Mình sử dụng định lý làm một công cụ đã được biết.)
Vì fff là hàm chu kỳ 2π2\pi2π và thuộc C(S1)C(S^1)C(S1), nó có chuỗi Fourier (hệ số):
f^k=12π∫02πf(x)e−ikx dx,k∈Z.\hat f_k = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(x) e^{-ikx}\,dx,\qquad k\in\mathbb Z.f^k=2π1∫02πf(x)e−ikxdx,k∈Z.
Các tổng Fourier SNfS_N fSNf (đa thức lượng giác bậc NNN) là
SNf(x)=∑k=−NNf^keikx.S_N f(x) = \sum_{k=-N}^N \hat f_k e^{ikx}.SNf(x)=k=−N∑Nf^keikx.
Stone–Weierstrass (và các lý thuyết Fourier) đảm bảo rằng SNfS_N fSNf xấp xỉ fff trong chuẩn sup khi N→∞N\to\inftyN→∞ (với hàm trơn/hợp lý; cho hàm tuyệt đối sin, sự hội tụ đồng đều xảy ra do tính liên tục và vì đa thức lượng giác là dense — tuy thực tế Fourier partial sums may converge uniformly under some conditions; for continuous functions on circle, Fejér means (Cesàro sums) converge uniformly; partial sums converge uniformly for sufficiently smooth functions; however Stone-Weierstrass guarantees existence of approximating trigonometric polynomials, possibly not the partial Fourier sums but there exist approximations).
Important remark (technical): For an arbitrary continuous function, the partial Fourier sums SNfS_N fSNf need not converge uniformly (Fejér summation gives uniform convergence of the Cesàro means). But Stone–Weierstrass guarantees that there exists a sequence of trigonometric polynomials pNp_NpN that converge uniformly to fff. In practice, Fejér sums (averages of partial Fourier sums) provide an explicit uniformly convergent sequence to fff. For the specific f(x)=∣sinx∣f(x)=|\sin x|f(x)=∣sinx∣, the Fourier partial sums behave well and visually converge; Fejér means guarantee uniform convergence.
We can compute coefficients using symmetry: fff is even about π\piπ and has certain parity, but easiest is to note that fff is even about x=πx=\pix=π and has period 2π2\pi2π. The Fourier series involves only cosine terms (no sine terms) because fff is an even function relative to π\piπ or because f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x) if centered appropriately. The coefficients can be computed by integration:
a0=1π∫02π∣sinx∣ dx=4π,a_0 = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} |\sin x|\,dx = \frac{4}{\pi},a0=π1∫02π∣sinx∣dx=π4,
and for n≥1n\ge1n≥1,
an=1π∫02π∣sinx∣cos(nx) dx,a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} |\sin x|\cos(nx)\,dx,an=π1∫02π∣sinx∣cos(nx)dx,
which can be evaluated to give an=−4π14n2−1a_n = -\dfrac{4}{\pi}\dfrac{1}{4n^2-1}an=−π44n2−11 for nnn odd/even pattern (one can compute it by splitting integrals and using standard integrals). (We omit the algebraic integral details here; the main point is coefficients decay like O(1/n2)O(1/n^2)O(1/n2).)
Because coefficients decay rapidly, the Fourier series converges uniformly.
a) Chứng minh AAA là một đại số con của C(S1)C(S^1)C(S1), chứa hàm hằng, và phân biệt các điểm của S1S^1S1.
b) Dựa trên Stone–Weierstrass theorem (phiên bản thực), chứng minh rằng AAA là mật trong C(S1)C(S^1)C(S1) — tức mọi hàm thực liên tục trên S1S^1S1 có thể xấp xỉ đồng đều bởi đa thức lượng giác. (Đây là Weierstrass approximation theorem cho vòng tròn, hay định lý Stone–Weierstrass cho S^1.)
c) (Ứng dụng) Lấy hàm f(x)=∣sinx∣f(x)=|\sin x|f(x)=∣sinx∣ trên S1S^1S1. Viết công thức Fourier của fff (các hệ số) và giải thích tại sao các tổng Fourier (đa thức lượng giác) xấp xỉ fff đồng đều. Vẽ đồ thị fff và các tổng Fourier dừng ở bậc N=5,25,100N=5,25,100N=5,25,100 để minh họa hội tụ đồng đều.
Lời giải (chi tiết, từng câu một)
Phần (a) —
- Một đa thức lượng giác p(x)p(x)p(x) có dạng
p(x)=∑k=−NNckeikx,ck∈C,p(x) = \sum_{k=-N}^N c_k e^{ikx},\qquad c_k\in\mathbb C,p(x)=k=−N∑Nckeikx,ck∈C,
và để ppp là hàm thực, hệ số thỏa c−k=ck‾c_{-k}=\overline{c_k}c−k=ck. Tập tất cả các ppp như vậy (với mọi NNN) là một tập đếm được vô hạn các hàm, gọi là AAA. - AAA đóng dưới cộng và nhân (tổng hai đa thức lượng giác lại là đa thức lượng giác; tích hai cũng vậy vì eikxeiℓx=ei(k+ℓ)xe^{ikx}e^{i\ell x}=e^{i(k+\ell)x}eikxeiℓx=ei(k+ℓ)x). Vì thế AAA là đại số.
- Hàm hằng 111 thuộc AAA (lấy c0=1c_0=1c0=1, các hệ số khác 0).
- AAA phân biệt các điểm: với hai điểm khác nhau x≠yx\neq yx=y trên S1S^1S1, chọn hàm eix↦eikxe^{ix}\mapsto e^{ikx}eix↦eikx với k=1k=1k=1 rồi xem ∣eikx−eiky∣≠0|e^{ikx}-e^{iky}|\neq0∣eikx−eiky∣=0 cho ít nhất một kkk. Nói cách khác, các hàm lượng giác tách điểm (separate points) vì hàm x↦eixx\mapsto e^{ix}x↦eix là một tọa độ vòng tròn và phức tạp lượng giác sinh ra các hàm cos, sin, từ đó có thể phân biệt điểm.
Vậy AAA là đại số con của C(S1)C(S^1)C(S1), có hằng số, và tách điểm.
Phần (b) — Áp dụng Stone–Weierstrass → mật trong
Định lý Stone–Weierstrass (phiên bản thực): Nếu XXX là không gian compact Hausdorff và A⊂C(X,R)A\subset C(X,\mathbb R)A⊂C(X,R) là một đại số con chứa hàm hằng và phân biệt các điểm (separates points), thì AAA là mật trong C(X,R)C(X,\mathbb R)C(X,R) theo chuẩn sup.
Áp dụng vào X=S1X=S^1X=S1 và AAA như trên: mọi điều kiện đều được thỏa — nên AAA là dense trong C(S1)C(S^1)C(S1). Điều này chính là Weierstrass approximation theorem cho vòng tròn: mọi hàm thực liên tục trên S1S^1S1 có thể được xấp xỉ đồng đều bởi đa thức lượng giác.
(Chú ý: Stone–Weierstrass là một kết quả sâu rộng; chứng minh đầy đủ thường dựa trên khái niệm algebra, lattice hoặc phương pháp phân tách điểm và xây dựng aprox. Mình sử dụng định lý làm một công cụ đã được biết.)
Phần (c) — Ứng dụng:
(i) Fourier coefficients và tổng Fourier
Vì fff là hàm chu kỳ 2π2\pi2π và thuộc C(S1)C(S^1)C(S1), nó có chuỗi Fourier (hệ số):
f^k=12π∫02πf(x)e−ikx dx,k∈Z.\hat f_k = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(x) e^{-ikx}\,dx,\qquad k\in\mathbb Z.f^k=2π1∫02πf(x)e−ikxdx,k∈Z.
Các tổng Fourier SNfS_N fSNf (đa thức lượng giác bậc NNN) là
SNf(x)=∑k=−NNf^keikx.S_N f(x) = \sum_{k=-N}^N \hat f_k e^{ikx}.SNf(x)=k=−N∑Nf^keikx.
Stone–Weierstrass (và các lý thuyết Fourier) đảm bảo rằng SNfS_N fSNf xấp xỉ fff trong chuẩn sup khi N→∞N\to\inftyN→∞ (với hàm trơn/hợp lý; cho hàm tuyệt đối sin, sự hội tụ đồng đều xảy ra do tính liên tục và vì đa thức lượng giác là dense — tuy thực tế Fourier partial sums may converge uniformly under some conditions; for continuous functions on circle, Fejér means (Cesàro sums) converge uniformly; partial sums converge uniformly for sufficiently smooth functions; however Stone-Weierstrass guarantees existence of approximating trigonometric polynomials, possibly not the partial Fourier sums but there exist approximations).
Important remark (technical): For an arbitrary continuous function, the partial Fourier sums SNfS_N fSNf need not converge uniformly (Fejér summation gives uniform convergence of the Cesàro means). But Stone–Weierstrass guarantees that there exists a sequence of trigonometric polynomials pNp_NpN that converge uniformly to fff. In practice, Fejér sums (averages of partial Fourier sums) provide an explicit uniformly convergent sequence to fff. For the specific f(x)=∣sinx∣f(x)=|\sin x|f(x)=∣sinx∣, the Fourier partial sums behave well and visually converge; Fejér means guarantee uniform convergence.
(ii) Hệ số Fourier cho
We can compute coefficients using symmetry: fff is even about π\piπ and has certain parity, but easiest is to note that fff is even about x=πx=\pix=π and has period 2π2\pi2π. The Fourier series involves only cosine terms (no sine terms) because fff is an even function relative to π\piπ or because f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x) if centered appropriately. The coefficients can be computed by integration:
a0=1π∫02π∣sinx∣ dx=4π,a_0 = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} |\sin x|\,dx = \frac{4}{\pi},a0=π1∫02π∣sinx∣dx=π4,
and for n≥1n\ge1n≥1,
an=1π∫02π∣sinx∣cos(nx) dx,a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} |\sin x|\cos(nx)\,dx,an=π1∫02π∣sinx∣cos(nx)dx,
which can be evaluated to give an=−4π14n2−1a_n = -\dfrac{4}{\pi}\dfrac{1}{4n^2-1}an=−π44n2−11 for nnn odd/even pattern (one can compute it by splitting integrals and using standard integrals). (We omit the algebraic integral details here; the main point is coefficients decay like O(1/n2)O(1/n^2)O(1/n2).)
Because coefficients decay rapidly, the Fourier series converges uniformly.