Câu 1. (Giải tích nhiều biến)
Cho hàm
f(x,y)=x3y−3xy3.f(x, y) = x^3 y - 3xy^3.f(x,y)=x3y−3xy3.
- Tính gradient ∇f và ma trận Hessian H(f).
- Tìm tất cả các điểm tới hạn.
- Phân loại từng điểm (cực đại, cực tiểu, hay yên ngựa).
Câu 2. (Đại số tuyến tính)
Cho ma trận
A=(2−10−12−10−12).A = \begin{pmatrix}2 & -1 & 0\\-1 & 2 & -1\\0 & -1 & 2\end{pmatrix}.A=2−10−12−10−12.
- Tìm trị riêng (eigenvalues) và vector riêng (eigenvectors).
- Chứng minh A khả nghịch và xác định A−1A^{-1}A−1 theo công thức tường minh.
Câu 3. (Giải tích phức)
Tính tích phân đường:
∮Ceizz3 dz,\oint_C \frac{e^{iz}}{z^3} \, dz,∮Cz3eizdz,
với C là đường tròn đơn vị |z| = 1 (theo chiều ngược kim đồng hồ).
Câu 4. (Giải tích – Chuỗi & Giới hạn)
Chứng minh chuỗi
∑n=1∞(−1)n+1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}n=1∑∞n(−1)n+1
hội tụ, và tính tổng chính xác của nó.
Câu 5. (Phương trình vi phân)
Giải phương trình:
y′′−4y′+4y=e2x.y'' - 4y' + 4y = e^{2x}.y′′−4y′+4y=e2x.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1
fx=3x2y−3y3,fy=x3−9xy2.f_x = 3x^2y - 3y^3,\quad f_y = x^3 - 9xy^2.fx=3x2y−3y3,fy=x3−9xy2.Gradient:
∇f=(3x2y−3y3, x3−9xy2).\nabla f = (3x^2y - 3y^3,\; x^3 - 9xy^2).∇f=(3x2y−3y3,x3−9xy2).
Hessian:
H=(6xy3x2−9y23x2−9y2−18xy).H = \begin{pmatrix}6xy & 3x^2 - 9y^2\\3x^2 - 9y^2 & -18xy\end{pmatrix}.H=(6xy3x2−9y23x2−9y2−18xy).
Điểm tới hạn khi ∇f = (0,0):
→ y(x2−3y2)=0y(x^2 - 3y^2)=0y(x2−3y2)=0 và x(x2−9y2)=0.x(x^2 - 9y^2)=0.x(x2−9y2)=0.
- Trường hợp 1: x = 0 ⇒ y = 0.
- Trường hợp 2: y = 0 ⇒ x = 0.
- Trường hợp 3: x² = 3y² và x² = 9y² ⇒ chỉ có (0,0).
=> Chỉ có (0, 0) là điểm tới hạn.
H(0, 0) = (0000)\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}(0000) ⇒ ma trận suy biến ⇒ điểm yên ngựa.
Câu 2
Đây là ma trận tam giác tridiagonal đối xứng (Laplacian rời rạc).
Các trị riêng là:
λk=2−2cos(kπ4),k=1,2,3.\lambda_k = 2 - 2\cos\left(\frac{k\pi}{4}\right),\quad k=1,2,3.λk=2−2cos(4kπ),k=1,2,3.
Tính ra:
λ1=0.5858, λ2=2, λ3=3.4142.\lambda_1=0.5858,\; \lambda_2=2,\; \lambda_3=3.4142.λ1=0.5858,λ2=2,λ3=3.4142.
Vì không có trị riêng bằng 0 ⇒ A khả nghịch.
Ta có thể tính A−1A^{-1}A−1 bằng công thức hoặc bằng python; kết quả:
A−1=(3/41/21/41/211/21/41/23/4).A^{-1} = \begin{pmatrix}3/4 & 1/2 & 1/4\\1/2 & 1 & 1/2\\1/4 & 1/2 & 3/4\end{pmatrix}.A−1=3/41/21/41/211/21/41/23/4.
Câu 3
Dùng Định lý phần dư (Residue Theorem):
Ta có f(z)=eiz/z3.f(z)=e^{iz}/z^3.f(z)=eiz/z3.
Khai triển eiz=1+iz−z2/2−iz3/6+…e^{iz} = 1 + iz - z^2/2 - i z^3/6 + \dotseiz=1+iz−z2/2−iz3/6+…
→ Hệ số của 1/z1/z1/z trong chuỗi Laurant chính là phần dư.
eizz3=1z3+iz2−12z+…\frac{e^{iz}}{z^3} = \frac{1}{z^3} + \frac{i}{z^2} - \frac{1}{2z} + \dotsz3eiz=z31+z2i−2z1+…
Phần dư = −½.
Theo định lý Cauchy:
∮Cf(z) dz=2πi⋅(−1/2)=−πi.\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \cdot (-1/2) = -\pi i.∮Cf(z)dz=2πi⋅(−1/2)=−πi.
Câu 4
Chuỗi này là chuỗi logarit luân phiên:
∑n=1∞(−1)n+1n=ln2.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2.n=1∑∞n(−1)n+1=ln2.
Giải thích: Đây là chuỗi Taylor của ln(1+x)\ln(1+x)ln(1+x) với x = 1.
Câu 5
Phương trình đồng nhất: r2−4r+4=0⇒(r−2)2=0r^2 - 4r + 4=0 \Rightarrow (r-2)^2=0r2−4r+4=0⇒(r−2)2=0
→ Nghiệm kép r = 2.
Nghiệm tổng quát:
yh=(C1+C2x)e2x.y_h = (C_1 + C_2x)e^{2x}.yh=(C1+C2x)e2x.
Đặt yp=Ax2e2xy_p = A x^2 e^{2x}yp=Ax2e2x. Thế vào, giải được A = ½.
⇒ yp=12x2e2x.y_p = \tfrac{1}{2}x^2 e^{2x}.yp=21x2e2x.
Kết quả cuối:
y=e2x(C1+C2x+12x2).\boxed{y = e^{2x}\left(C_1 + C_2x + \tfrac{1}{2}x^2\right)}.y=e2x(C1+C2x+21x2).