Bài 1. (Giải tích – 25 điểm)
Giả sử f(x)=xe−x2f(x) = x e^{-x^2}f(x)=xe−x2.
(a) Tìm cực trị của hàm số.
(b) Tính giới hạn:
limx→∞x3e−x2\lim_{x \to \infty} x^3 e^{-x^2}x→∞limx3e−x2
(c) Tính tích phân:
I=∫0∞xe−x2dxI = \int_0^{\infty} x e^{-x^2} dxI=∫0∞xe−x2dx
Bài 2. (Đại số tuyến tính – 25 điểm)
Cho ma trận:
A=(2112)A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\1 & 2\end{pmatrix}A=(2112)
(a) Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng.
(b) Chứng minh rằng AAA khả chéo hóa.
(c) Tính A10A^{10}A10 mà không nhân tay 10 lần.
Bài 3. (Giải tích đa biến – 25 điểm)
Cho hàm số:
f(x,y)=x2+xy+y2f(x, y) = x^2 + xy + y^2f(x,y)=x2+xy+y2
(a) Tìm điểm cực tiểu của hàm.
(b) Tính gradient và ma trận Hessian.
(c) Phân loại điểm dừng.
Bài 4. (Lý thuyết nhóm – 25 điểm)
Giả sử GGG là nhóm với 6 phần tử, và có ít nhất một phần tử bậc 3.
(a) Chứng minh rằng GGG đẳng cấu với nhóm đối xứng S3S_3S3.
(b) Liệt kê tất cả các phần tử của S3S_3S3 và phép nhân của chúng.
Bài 1
(a)
f′(x)=e−x2(1−2x2)f'(x) = e^{-x^2}(1 - 2x^2)f′(x)=e−x2(1−2x2)
→ Cực trị tại x=±12x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}x=±21.
→ Cực đại tại x=12x = \frac{1}{\sqrt{2}}x=21, cực tiểu tại x=−12x = -\frac{1}{\sqrt{2}}x=−21.
(b)
limx→∞x3e−x2=0\lim_{x \to \infty} x^3 e^{-x^2} = 0x→∞limx3e−x2=0
(vì e−x2e^{-x^2}e−x2 giảm nhanh hơn mọi đa thức)
(c)
Đặt u=x2⇒du=2xdxu = x^2 \Rightarrow du = 2x dxu=x2⇒du=2xdx
I=12∫0∞e−udu=12I = \frac{1}{2} \int_0^{\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2}I=21∫0∞e−udu=21
Bài 2
(a)
Phương trình đặc trưng:
∣A−λI∣=(2−λ)2−1=λ2−4λ+3=0|A - \lambda I| = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0∣A−λI∣=(2−λ)2−1=λ2−4λ+3=0
→ λ1=1,λ2=3\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3λ1=1,λ2=3
Vectơ riêng:
λ1=1⇒v1=(1,−1)\lambda_1 = 1 \Rightarrow v_1 = (1, -1)λ1=1⇒v1=(1,−1)
λ2=3⇒v2=(1,1)\lambda_2 = 3 \Rightarrow v_2 = (1, 1)λ2=3⇒v2=(1,1)
(b)
Hai vectơ riêng độc lập → khả chéo hóa.
(c)
A=PDP−1,D=(1003),A10=PD10P−1A = PDP^{-1}, \quad D = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}, \quad A^{10} = P D^{10} P^{-1}A=PDP−1,D=(1003),A10=PD10P−1D10=(100310)D^{10} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3^{10}\end{pmatrix}D10=(100310)
Bài 3
(a)
∇f=(2x+y,x+2y)=0⇒x=0,y=0\nabla f = (2x + y, x + 2y) = 0 \Rightarrow x = 0, y = 0∇f=(2x+y,x+2y)=0⇒x=0,y=0
→ Cực tiểu tại (0, 0).
(b)
H=(2112)H = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}H=(2112)
H có giá trị riêng dương (1, 3) → dương xác định → cực tiểu.
Bài 4
Nếu nhóm GGG có phần tử bậc 3 → có nhóm con cấp 3.
Vì ∣G∣=6=3×2|G| = 6 = 3 \times 2∣G∣=6=3×2 → theo Định lý Sylow, nhóm này phải là S₃.
Các phần tử của S3S_3S3:
{e,(12),(13),(23),(123),(132)}\{ e, (12), (13), (23), (123), (132) \}{e,(12),(13),(23),(123),(132)}
Các phép nhân tương ứng tạo thành bảng nhóm 6×6.