Câu 1 – Không gian vector (Linear Algebra)
Cho các vector trong R3\mathbb{R}^3R3:
v1=(1,2,3),v2=(2,4,6),v3=(1,1,0)v_1 = (1, 2, 3), \quad v_2 = (2, 4, 6), \quad v_3 = (1, 1, 0)v1=(1,2,3),v2=(2,4,6),v3=(1,1,0)
(a) Hãy xác định xem {v1,v2,v3}\{v_1, v_2, v_3\}{v1,v2,v3} có độc lập tuyến tính không.
(b) Tìm một cơ sở cho không gian con được sinh bởi chúng.
Câu 2 – Giải tích (Calculus)
Tính giới hạn:
limx→0sin(3x)−3xx3\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - 3x}{x^3}x→0limx3sin(3x)−3x
Câu 3 – Đại số tuyến tính nâng cao
Cho ma trận
A=[2112]A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\1 & 2\end{bmatrix}A=[2112]
Tìm các trị riêng (eigenvalues) và vector riêng (eigenvectors) của AAA.
Câu 4 – Giải tích vector
Cho hàm f(x,y)=x2+xy+y2f(x, y) = x^2 + xy + y^2f(x,y)=x2+xy+y2.
(a) Tìm gradient ∇f(x,y)\nabla f(x, y)∇f(x,y).
(b) Tìm điểm cực tiểu toàn cục của hàm.
Câu 5 – Logic và chứng minh
Chứng minh rằng nếu a,ba, ba,b là hai số nguyên lẻ, thì a2+b2a^2 + b^2a2+b2 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
v1=(1,2,3),v2=(2,4,6),v3=(1,1,0)v_1 = (1,2,3), \quad v_2 = (2,4,6), \quad v_3 = (1,1,0)v1=(1,2,3),v2=(2,4,6),v3=(1,1,0)Ta thấy v2=2v1v_2 = 2v_1v2=2v1, nên phụ thuộc tuyến tính.
Giờ ta chọn cơ sở:
Cơ sở={v1,v3}={(1,2,3),(1,1,0)}\text{Cơ sở} = \{v_1, v_3\} = \{(1,2,3), (1,1,0)\}Cơ sở={v1,v3}={(1,2,3),(1,1,0)}
Hai vector này không tỉ lệ nhau → độc lập tuyến tính.
⇒ Cơ sở = {v₁, v₃}, dim = 2.
Hình minh họa:
Vector v1,v3v_1, v_3v1,v3 tạo thành một mặt phẳng trong không gian 3D.
(Ở đây minh họa bằng ASCII giản lược)
<span><span><span>z</span></span><span><br>│ v1(</span><span><span>1</span></span><span>,</span><span><span>2</span></span><span>,</span><span><span>3</span></span><span>)<br>│ /<br>│ /<br>│ / v3(</span><span><span>1</span></span><span>,</span><span><span>1</span></span><span>,</span><span><span>0</span></span><span>)<br>└───────────── x,y<br></span></span>
Câu 2:
limx→0sin(3x)−3xx3\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - 3x}{x^3}x→0limx3sin(3x)−3xTa dùng khai triển Taylor:
sin(3x)=3x−(3x)36+O(x5)=3x−27x36+O(x5)\sin(3x) = 3x - \frac{(3x)^3}{6} + O(x^5) = 3x - \frac{27x^3}{6} + O(x^5)sin(3x)=3x−6(3x)3+O(x5)=3x−627x3+O(x5)
Thay vào:
sin(3x)−3xx3=−27x36+O(x5)x3=−276=−92\frac{\sin(3x) - 3x}{x^3} = \frac{-\frac{27x^3}{6} + O(x^5)}{x^3} = -\frac{27}{6} = -\frac{9}{2}x3sin(3x)−3x=x3−627x3+O(x5)=−627=−29
Kết quả: −92-\frac{9}{2}−29Câu 3:
A=[2112]A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\1 & 2\end{bmatrix}A=[2112]Phương trình đặc trưng:
∣A−λI∣=(2−λ)2−1=0⇒λ2−4λ+3=0⇒λ1=1,λ2=3|A - \lambda I| = (2 - \lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0\Rightarrow \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3∣A−λI∣=(2−λ)2−1=0⇒λ2−4λ+3=0⇒λ1=1,λ2=3
Tìm vector riêng:
- Với λ=1\lambda = 1λ=1:
- Với λ=3\lambda = 3λ=3:
Kết quả:λ1=1,v1=(1,−1);λ2=3,v2=(1,1)\lambda_1=1, v_1=(1,-1); \quad \lambda_2=3, v_2=(1,1)λ1=1,v1=(1,−1);λ2=3,v2=(1,1)
Câu 4:
f(x,y)=x2+xy+y2f(x, y) = x^2 + xy + y^2f(x,y)=x2+xy+y2(a) Gradient:
∇f=(2x+y,x+2y)\nabla f = (2x + y, x + 2y)∇f=(2x+y,x+2y)
(b) Cực tiểu → nghiệm hệ ∇f=0\nabla f = 0∇f=0:
{2x+y=0x+2y=0⇒x=0,y=0\begin{cases}2x + y = 0\\x + 2y = 0\end{cases}\Rightarrow x = 0, y = 0{2x+y=0x+2y=0⇒x=0,y=0
Kiểm tra Hessian:
H=[2112]H = \begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 2\end{bmatrix}H=[2112]
Tích chính = 2, định thức = 3 > 0 ⇒ dương xác định.
Cực tiểu tại (0,0), giá trị f(0,0)=0.Câu 5:
Nếu a,ba,ba,b là lẻ ⇒ a=2m+1,b=2n+1a=2m+1, b=2n+1a=2m+1,b=2n+1
a2+b2=(2m+1)2+(2n+1)2=4m2+4m+1+4n2+4n+1=4(m2+m+n2+n)+2a^2+b^2 = (2m+1)^2 + (2n+1)^2 = 4m^2+4m+1 + 4n^2+4n+1 = 4(m^2+m+n^2+n) + 2a2+b2=(2m+1)2+(2n+1)2=4m2+4m+1+4n2+4n+1=4(m2+m+n2+n)+2
→ a2+b2a^2+b^2a2+b2 chia hết cho 2, nhưng dư 2 khi chia cho 4
⇒ Không chia hết cho 4.