Bài 1 – Giải tích (25 điểm)
Cho hàm
f(x)=x2−1x2+1f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}f(x)=x2+1x2−1
(a) Tìm đạo hàm f′(x)f'(x)f′(x).
(b) Tìm các cực trị và giá trị cực đại, cực tiểu.
(c) Tính giới hạn limx→∞f(x)\lim_{x \to \infty} f(x)limx→∞f(x).
(d) Vẽ sơ đồ hình dáng của đồ thị.
Bài 2 – Đại số tuyến tính (25 điểm)
Cho hệ phương trình tuyến tính:
{x+2y+z=42x+5y+z=9−x+y+2z=2\begin{cases}x + 2y + z = 4 \\2x + 5y + z = 9 \\- x + y + 2z = 2\end{cases}⎩⎨⎧x+2y+z=42x+5y+z=9−x+y+2z=2
(a) Viết hệ dưới dạng ma trận Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}Ax=b.
(b) Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss.
(c) Xác định xem hệ có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hay vô nghiệm.
Bài 3 – Chuỗi vô hạn (25 điểm)
Xét chuỗi:
∑n=1∞(−1)n+1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}n=1∑∞n(−1)n+1
(a) Chuỗi này có hội tụ không?
(b) Nếu có, hãy tìm tổng.
(c) Giải thích tính chất hội tụ xen kẽ.
Bài 4 – Vector và mặt phẳng (25 điểm)
Cho hai vectơ trong không gian 3D:
a⃗=(2,−1,3),b⃗=(1,4,−2)\vec{a} = (2, -1, 3), \quad \vec{b} = (1, 4, -2)a=(2,−1,3),b=(1,4,−2)
(a) Tính a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}a⋅b (tích vô hướng).
(b) Tính góc giữa hai vectơ.
(c) Tính tích có hướng a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}a×b.
(d) Từ hai vectơ đó, viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và song song với a⃗\vec{a}a, b⃗\vec{b}b.
Bài 1
(a)
f′(x)=(2x)(x2+1)−(x2−1)(2x)(x2+1)2=4x(x2+1)2f'(x) = \frac{(2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}f′(x)=(x2+1)2(2x)(x2+1)−(x2−1)(2x)=(x2+1)24x
(b)
Cực trị khi f′(x)=0⇒x=0f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0f′(x)=0⇒x=0
→ f(0)=−1f(0) = -1f(0)=−1.
→ Cực tiểu tại (0, -1).
(c)
limx→∞f(x)=1\lim_{x \to \infty} f(x) = 1x→∞limf(x)=1
→ đường tiệm cận ngang y=1y = 1y=1.
(d)
Hình minh họa đồ thị f(x)f(x)f(x):
Bài 2
Ma trận:
A=(121251−112),b⃗=(492)A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\2 & 5 & 1 \\-1 & 1 & 2\end{pmatrix},\quad\vec{b} = \begin{pmatrix}4 \\ 9 \\ 2\end{pmatrix}A=12−1251112,b=492
Khử Gauss → kết quả:
x⃗=(111)\vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}x=111
Hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 3
Đây là chuỗi xen kẽ:
1−12+13−14+⋯1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots1−21+31−41+⋯
→ Chuỗi hội tụ theo Định lý Leibniz (vì các số hạng giảm dần và tiến về 0).
Tổng là:
ln(2)\ln(2)ln(2)
Bài 4
(a)
a⃗⋅b⃗=2(1)+(−1)(4)+3(−2)=2−4−6=−8\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(1) + (-1)(4) + 3(-2) = 2 - 4 - 6 = -8a⋅b=2(1)+(−1)(4)+3(−2)=2−4−6=−8
(b)
cosθ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b
∣a⃗∣=22+(−1)2+32=14|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{14}∣a∣=22+(−1)2+32=14
∣b⃗∣=12+42+(−2)2=21|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{21}∣b∣=12+42+(−2)2=21
cosθ=−814×21≈−0.47⇒θ≈118∘\cos \theta = \frac{-8}{\sqrt{14 \times 21}} \approx -0.47\Rightarrow \theta \approx 118^\circcosθ=14×21−8≈−0.47⇒θ≈118∘
(c)
a⃗×b⃗=∣i^j^k^2−1314−2∣=(−10,7,9)\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\2 & -1 & 3 \\1 & 4 & -2\end{vmatrix}= (-10, 7, 9)a×b=i^21j^−14k^3−2=(−10,7,9)
(d)
Phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ có pháp tuyến là n⃗=a⃗×b⃗\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}n=a×b:
−10x+7y+9z=0-10x + 7y + 9z = 0−10x+7y+9z=0
