Bài 1 – Giải tích (25 điểm)
Cho chuỗi:
f(x)=∑n=1∞(−1)n+1x2nn!f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{n!}f(x)=n=1∑∞n!(−1)n+1x2n
(a) Chứng minh chuỗi hội tụ với mọi xxx.
(b) Tính đạo hàm f′(x)f'(x)f′(x).
(c) Tìm giới hạn limx→∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)x→∞limf(x).
Bài 2 – Đại số tuyến tính (25 điểm)
Cho ma trận
A=(210121012)A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}A=210121012
(a) Tìm các giá trị riêng của AAA.
(b) Chứng minh rằng AAA khả chéo hóa.
(c) Tìm biểu thức cho AnA^nAn (không dùng nhân lặp).
Bài 3 – Giải tích đa biến (25 điểm)
Cho hàm
f(x,y)=x3−3xy2f(x,y)=x^3-3xy^2f(x,y)=x3−3xy2
(a) Tìm các điểm dừng (nghiệm ∇f=0\nabla f=0∇f=0).
(b) Tính Hessian và phân loại cực trị.
(c) Vẽ mô hình 3D cho biết loại điểm.
Bài 4 – Logic & Chứng minh (25 điểm)
Giả sử dãy (an)(a_n)(an) xác định bởi:
a1=1, an+1=1+ana_1=1,\; a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}a1=1,an+1=1+an.
(a) Chứng minh dãy bị chặn trên.
(b) Chứng minh dãy hội tụ.
(c) Tìm giới hạn của dãy.
Bài 1
(a) Vì x2nn!\frac{x^{2n}}{n!}n!x2n giống chuỗi Taylor của ex2e^{x^2}ex2, nên theo kiểm định tỉ số:
limn→∞∣an+1an∣=limn→∞∣x∣2n+1=0\lim_{n\to\infty}\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^2}{n+1}=0n→∞limanan+1=n→∞limn+1∣x∣2=0
→ Chuỗi hội tụ với mọi xxx.
(b)
f′(x)=∑n=1∞(−1)n+12nx2n−1n!=2x∑n=1∞(−1)n+1x2n−2(n−1)!=2xe−x2f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}2n x^{2n-1}}{n!}=2x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^{2n-2}}{(n-1)!}=2x e^{-x^2}f′(x)=n=1∑∞n!(−1)n+12nx2n−1=2xn=1∑∞(n−1)!(−1)n+1x2n−2=2xe−x2
(c)
limx→∞f(x)=∑n=1∞(−1)n+1∞2nn!\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\infty^{2n}}{n!}x→∞limf(x)=n=1∑∞n!(−1)n+1∞2n không xác định trực tiếp, nhưng ta nhận ra f(x)=1−e−x2f(x)=1-e^{-x^2}f(x)=1−e−x2
→ Giới hạn = 1.
Bài 2
(a) Đa thức đặc trưng:
∣A−λI∣=(2−λ)[(2−λ)2−1]−1[(2−λ)]=(2−λ)(λ2−4λ+3)⇒λ∈{1,2,3}|A-\lambda I|=(2-\lambda)[(2-\lambda)^2-1]-1[(2-\lambda)]=(2-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+3)\Rightarrow \lambda\in\{1,2,3\}∣A−λI∣=(2−λ)[(2−λ)2−1]−1[(2−λ)]=(2−λ)(λ2−4λ+3)⇒λ∈{1,2,3}
(b) Ba giá trị riêng khác nhau → khả chéo hóa.
(c) A=PDP−1⇒An=PDnP−1A=PDP^{-1}\Rightarrow A^n=PD^nP^{-1}A=PDP−1⇒An=PDnP−1
với Dn=diag(1n,2n,3n)D^n=\operatorname{diag}(1^n,2^n,3^n)Dn=diag(1n,2n,3n).
Bài 3
∇f=(3x2−3y2, −6xy)=0⇒(x,y)=(0,0)\nabla f=(3x^2-3y^2,\,-6xy)=0\Rightarrow (x,y)=(0,0)∇f=(3x2−3y2,−6xy)=0⇒(x,y)=(0,0)Hessian:
H=(6x−6y−6y−6x)⇒H(0,0)=(0000)H=\begin{pmatrix}6x&-6y\\-6y&-6x\end{pmatrix}\Rightarrow H(0,0)=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}H=(6x−6y−6y−6x)⇒H(0,0)=(0000)
→ Không xác định cực trị → điểm yên ngựa.
Biểu đồ (hình dạng “saddle”):
Bài 4
(a) Giả sử an>0a_n>0an>0. Ta có an+1=1+an≤1+2=3a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}\le\sqrt{1+2}= \sqrt3an+1=1+an≤1+2=3 → bị chặn trên.
(b) Dãy tăng vì an+1−an=1+an−an>0a_{n+1}-a_n=\sqrt{1+a_n}-a_n>0an+1−an=1+an−an>0 khi an<1.618a_n<1.618an<1.618.
Giới hạn tồn tại.
(c) Đặt L=liman⇒L=1+L⇒L2=L+1⇒L=1+52L=\lim a_n\Rightarrow L=\sqrt{1+L}\Rightarrow L^2=L+1\Rightarrow L=\frac{1+\sqrt5}{2}L=liman⇒L=1+L⇒L2=L+1⇒L=21+5 (Golden Ratio φ ≈ 1.618).