Đề toán: Bài toán hỗn hợp giải tích và đại số trừu tượng
(Đề Harvard mô phỏng – độ khó: Math 55A cấp độ cao)Câu 1 — Chuỗi hội tụ (Analysis)
Xét chuỗi sau:∑n=1∞(−1)n+1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}}n=1∑∞np(−1)n+1
a) Với giá trị nào của ppp thì chuỗi này hội tụ?
b) Chuỗi hội tụ tuyệt đối khi nào?
Câu 2 — Giới hạn khó (Calculus nâng cao)
Tính giới hạn:limx→0ex−1−x−x22x3\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}x→0limx3ex−1−x−2x2
Câu 3 — Đại số tuyến tính (Linear Algebra)
Cho ma trận:A=[210021002]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}A=200120012
a) Tìm các giá trị riêng (eigenvalues) của AAA.
b) Tìm đa thức đặc trưng và kiểm tra xem AAA có khả nghịch không.
c) Có thể chéo hóa (diagonalize) ma trận AAA không? Giải thích.
Câu 4 — Nhóm và đồng cấu (Abstract Algebra)
Giả sử G=(Z6,+)G = (\mathbb{Z}_6, +)G=(Z6,+) và H=(Z3,+)H = (\mathbb{Z}_3, +)H=(Z3,+).Hãy tìm tất cả các đồng cấu nhóm f:G→Hf: G \to Hf:G→H.
Câu 5 — Hình học và tích phân
Một hạt chuyển động trong mặt phẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm ttt làv(t)=(t2,sin(t))v(t) = (t^2, \sin(t))v(t)=(t2,sin(t))
với t∈[0,π]t \in [0, \pi]t∈[0,π].
Tính độ dài quãng đường mà hạt đã di chuyển trong khoảng thời gian đó.
Lời giải chi tiết từng bước
Câu 1: Chuỗi hội tụ
∑n=1∞(−1)n+1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}}n=1∑∞np(−1)n+1a) Theo kiểm tra chuỗi luân phiên (Leibniz), chuỗi hội tụ nếu:
- an=1/npa_n = 1/n^pan=1/np giảm dần về 0,
- an→0a_n \to 0an→0.
b) Hội tụ tuyệt đối khi chuỗi
∑1np\sum \frac{1}{n^p}∑np1
hội tụ ⇒ theo chuỗi p, nó hội tụ khi p>1p > 1p>1.
Kết luận:- Hội tụ có điều kiện nếu 0<p≤10 < p \le 10<p≤1
- Hội tụ tuyệt đối nếu p>1p > 1p>1
Câu 2: Giới hạn
L=limx→0ex−1−x−x22x3L = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}L=x→0limx3ex−1−x−2x2Ta khai triển:
ex=1+x+x22+x36+O(x4)e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \mathcal{O}(x^4)ex=1+x+2x2+6x3+O(x4)
Thay vào:
L=limx→0(1+x+x22+x36)−1−x−x22x3L = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}L=x→0limx3(1+x+2x2+6x3)−1−x−2x2 =limx→0x3/6x3=16= \lim_{x \to 0} \frac{x^3/6}{x^3} = \frac{1}{6}=x→0limx3x3/6=61
Kết quả:L=16L = \frac{1}{6}L=61
Câu 3: Ma trận AAA
A=[210021002]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}A=200120012a) Ma trận tam giác ⇒ các giá trị riêng (eigenvalues) là các phần tử đường chéo
λ=2 (bội soˆˊ đại soˆˊ 3)\lambda = 2 \text{ (bội số đại số 3)}λ=2 (bội soˆˊ đại soˆˊ 3)
b) Đa thức đặc trưng:
det(A−λI)=(2−λ)3\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)^3det(A−λI)=(2−λ)3
Ma trận khả nghịch vì det(A)=8≠0\det(A) = 8 ≠ 0det(A)=8=0.
c) AAA không chéo hóa được, vì chỉ có 1 giá trị riêng nhưng ma trận không phải là bội 3 độc lập tuyến tính.
Đây là ma trận Jordan block:
A=2I+N,N=[010001000]A = 2I + N,\quad N = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}A=2I+N,N=000100010
Câu 4: Đồng cấu nhóm
Giả sử f(x)=kxmod 3f(x) = kx \mod 3f(x)=kxmod3.Vì f(6)=0f(6) = 0f(6)=0, nên:
6k≡0(mod3)6k \equiv 0 \pmod{3}6k≡0(mod3)
⇒ 3∣6k3 | 6k3∣6k luôn đúng ⇒ mọi giá trị k=0,1,2k = 0,1,2k=0,1,2 đều hợp lệ.
Có 3 đồng cấu nhóm:f0(x)=0,f1(x)=xmod 3,f2(x)=2xmod 3f_0(x) = 0,\quad f_1(x) = x \mod 3,\quad f_2(x) = 2x \mod 3f0(x)=0,f1(x)=xmod3,f2(x)=2xmod3
Câu 5: Quãng đường
Vận tốc: v(t)=(t2,sint)v(t) = (t^2, \sin t)v(t)=(t2,sint)Độ dài:
S=∫0π(t2)′2+(sint)′2 dt=∫0π(2t)2+(cost)2 dtS = \int_0^{\pi} \sqrt{(t^2)'^2 + (\sin t)'^2}\, dt = \int_0^{\pi} \sqrt{(2t)^2 + (\cos t)^2}\, dtS=∫0π(t2)′2+(sint)′2dt=∫0π(2t)2+(cost)2dt S=∫0π4t2+cos2t dtS = \int_0^{\pi} \sqrt{4t^2 + \cos^2 t}\, dtS=∫0π4t2+cos2tdt
Tích phân này không có dạng đóng ⇒ chỉ có thể xấp xỉ số học:
S≈6.82S \approx 6.82S≈6.82
Tổng kết kỹ năng được kiểm tra
| Câu | Lĩnh vực | Kỹ năng chính | Mức Harvard |
|---|---|---|---|
| 1 | Giải tích | Chuỗi p và hội tụ luân phiên | 55A chương 1 |
| 2 | Giới hạn nâng cao | Khai triển Taylor | 55A chương 2 |
| 3 | Đại số tuyến tính | Giá trị riêng, Jordan | 55A chương 4 |
| 4 | Đại số trừu tượng | Đồng cấu nhóm | 55B chương 1 |
| 5 | Tích phân hình học | Vector calculus | 55A chương 5 |
